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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
e) $a_{n}=\frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}$

Respuesta

Ahora queremos resolver este límite:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}$

Arrancamos reescribiendo en el denominador $3^{n+1}$ como $3^n \cdot 3$

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{ 3^n \cdot 3 +(-1)^{n+1}}$

Ahora sacamos factor común $3^n$ en numerador y denominador ("el que manda")

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n(1 + \frac{(-1)^n}{3^n})}{3^n(3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n})} $

Simplificamos:

$\lim_{n \to +\infty}  \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} $

Fijate que \(\frac{(-1)^n}{3^n}\) y \(\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}\) tienden a $0$ por "cero por acotada", como en el item c). Entonces, cuando tomamos límite nos queda:

$\lim_{n \to +\infty}  \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} = \frac{1}{3}$
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Avatar ana hace 1 día
Hola profe flor! Cómo estás? Quisiera saber por qué esta forma no sería correcta2025-10-30%2014:25:20_7367455.png
Avatar Flor Profesor Hace 5 horas
@ana Hola Ana! Porque cuando vos llegas a esta parte

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{ 3^n \cdot 3 +(-1)^{n+1}}$

Con esas sumas en denominador y denominador no podemos simplificar. Te lo pongo con otro ejemplo que nada que ver, pero para que se vea mejor. Si vos tenés, por ejemplo:

$\frac{x+1}{x+2}$

Esas $x$ no se pueden simplificar. En este escenario tampoco:

$\frac{x+1}{x}$ 

Porque tenes esa sumas (o podrían ser restas también) en numerador y/o denominador. En cambio, si tenés productos si lo podés hacer sin problema, por ejemplo acá

$\frac{x \cdot 3}{x \cdot 2}$

Esas $x$ si se pueden simplificar y te queda 3/2 

O en este caso también (yo sigo tirando más ejemplos para que se vea bien jaja) 

$\frac{x \cdot (x^2+1)}{3x}$

Ahi si podés simplificar la $x$ del denominador con la que está multiplicando en el numerador y te queda -> $\frac{x^2+1}{3}$

Todas esas ideas aplican a este caso, por eso tuvimos que sacar primero factor común $3^n$ y recien ahi, que nos quedó así:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n(1 + \frac{(-1)^n}{3^n})}{3^n(3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n})} $

Ahora si podemos simplificar los $3^n$

Se ve un poco mejor?? 
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